Processos Estacionários

MA(1)

O modelo MA(1) é descrito pela equação \[ y_{t} = \epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1} \] onde \(\epsilon_{t} \sim \text{RB}(0, \sigma^{2})\). Isto é, estamos modelando a série como uma soma de “choques aleatórios” com pesos diferentes. Note que este processo sempre vai ser estacionário. Como a esperança de \(\epsilon_{t}\) é zero (para qualquer valor de \(t\)) a esperança de y_{t} será sempre zero. Especificamente: \[\begin{align} \mathbb{E}(y_{t}) & = \mathbb{E}(\epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1}) \\ & = \mathbb{E}(\epsilon_{t}) + \mathbb{E}(\theta\epsilon_{t-1}) \\ & = 0 + \theta\mathbb{E}(\epsilon_{t-1}) \\ & = 0 + 0 = 0 \end{align}\] Além disso, podemos ver que a autocovariância do processo, \(\gamma(k)\), depende apenas das distâncias (dos “lags”), isto é, da distância \(k\).

\[ \gamma(k) = \mathbb{E}(y_{t}y_{t - k}) \]

\[\begin{align} \gamma(0) & = \mathbb{E}(y_{t}y_{t}) \\ & = \mathbb{E}\left[(\epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1})^2\right] \\ & = \mathbb{E}(\epsilon_{t}^{2} + 2\theta\epsilon_{t}\epsilon_{t-1} + \theta^2\epsilon_{t-1}^{2}) \\ & = \mathbb{E}(\epsilon_{t}^{2}) + 2\theta\mathbb{E}(\epsilon_{t}\epsilon_{t-1}) + \mathbb{E}(\epsilon_{t - 1}^{2}) \\ & = \sigma^{2} + 0 + \theta\sigma^{2} \\ & = \sigma^{2}(1 + \theta) \\ \gamma(1) & = \mathbb{E}(y_{t}y_{t - 1}) \\ & = \mathbb{E}\left[(\epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t - 1})(\epsilon_{t - 1} + \theta\epsilon_{t - 2})\right] \\ & = \mathbb{E}(\epsilon_{t}\epsilon_{t - 1} + \theta\epsilon_{t}\epsilon_{t - 2} + \theta\epsilon_{t - 1}^{2} + \theta^{2}\epsilon_{t - 1}\epsilon_{t - 2}) \\ & = \mathbb{E}(\epsilon_{t}\epsilon_{t - 1}) + \theta\mathbb{E}(\epsilon_{t}\epsilon_{t - 2}) + \theta\mathbb{E}(\epsilon_{t - 1}^{2}) + \theta^{2}\mathbb{E}(\epsilon_{t - 1}\epsilon_{t - 2})\\ & = 0 + 0 + \theta\sigma^{2} + 0 \\ & = \theta\sigma^{2} \end{align}\]

Logo a autocorrelação é dada por

\[ \rho(1) = \frac{\gamma(1)}{\gamma(0)} = \frac{\sigma^{2}\theta}{\sigma^{2}(1 + \theta)} = \frac{\theta}{1 + \theta} \]

set.seed(33)
e <- rnorm(n = 100, mean = 0, sd = 1)
plot.ts(e, main = "Ruído branco Gaussiano")

theta <- 0.4
y <- 0
for (i in 2:100){
    y[i] <- e[i] + theta * e[i - 1] 
}
plot.ts(y, main = "Série MA(1)")

par(mfrow = c(2, 1))
acf(y)
pacf(y)

(fit <- arima(y, order = c(0, 0, 1)))
## 
## Call:
## arima(x = y, order = c(0, 0, 1))
## 
## Coefficients:
##          ma1  intercept
##       0.2897     0.0845
## s.e.  0.1038     0.1283
## 
## sigma^2 estimated as 0.9945:  log likelihood = -141.66,  aic = 289.33

MA(2)

O modelo MA(2) é dado pela equação \[ y_{t} = \epsilon_{t} + \theta_{1}\epsilon_{t - 1} + \theta_{2}\epsilon_{t - 2} \]

y <- arima.sim(model = list(ma = c(0.3, -0.6)), n = 200)
plot.ts(y, main = bquote("Modelo MA(2) com "~theta[1]==0.3~", "~theta[2]==-0.6))

acf(y)

pacf(y)

MA(q)

plot(ARMAacf(ma = c(0.2, 0.5, -0.35, 0.1), lag.max = 20), type = "h")

plot(ARMAacf(ma = c(0.2, 0.5, -0.35, 0.1), lag.max = 20, pacf = TRUE), type = "h")