Métodos de otimização numérica são frequentemente necessários para estimar modelos econométricos e resolver problemas de máximo/mínimo em geral. Em particular, para encontrar estimadores de extremo — como estimadores do método generalizado de momentos (GMM) ou estimadores de máxima verossimilhança (MLE) — é necessário resolver um problema de otimização. Na maior parte dos casos, estes métodos rodam no background de funções prontas, mas não custa entender um pouco mais sobre como eles funcionam, até porque um dos métodos mais populares, o método de Newton (e suas variantes) é bastante simples e intuitivo.

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Introdução Os cursos de econometria de séries de tempo, usualmente, começam pelo ensino de modelos lineares univariados para séries estacionárias. Estes modelos são da família ARMA e tentam representar uma série de tempo \(y_{t}\) em função de suas defasagens \(y_{t-1}, y_{t-2}, \dots, y_{t-n}\) e de choques aleatórios (inovações) \(\epsilon_{t}, \epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-2}, \dots, y_{t-n}\). Contudo, pode ser mais interessante relacionar duas séries de tempo \(y_{t}\) e \(x_{t}\) diferentes via um modelo linear.

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Séries M4 Neste post vou implementar algumas rotinas simples que modelam e preveem séries de tempo univariadas. Para avaliar modelos em série de tempo é bastante comum separar a série em duas partes: uma primeira é usada para alimentar o modelo: serve para estimar os parâmetros; a segunda parte serve para testar a sua capacidade preditiva. A terminologia usual é de train (treino) e test (teste). Usamos o train para estimar o modelo e depois testamos as suas previsões contra as observações reservadas no test.

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A estimação por máxima verossimilhança possui Há vários pacotes que ajudam a implementar a estimação por máxima verossimilhança. Neste post vou me ater apenas a dois pacotes: o optimx e o maxLik. O primeiro deles agrega funções de otimização de diversos outros pacotes numa sintaxe unificada centrada em algumas poucas funções. O último é feito especificamente para estimação de máxima verossimilhança então traz algumas comodidades como a estimação automática de erros-padrão.

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Mínimos Quadrados A maior parte dos resultados assintóticos dos estimadores de mínimos quadrados (MQO) são um misto da LGN, do TCL e de outros resultados de convergência como o método delta e o teorema de Slutsky. Um resultado simples que podemos visualizar através de uma simulação é a propriedade de não-viés dos estimadores de MQO. Em linhas gerais, desde que o termo de erro seja ortogonal às variáveis independentes, os estimadores de MQO não serão viesados, i.

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Uma forma instrutiva de entender o modelo de regressão linear é expressando ele em forma matricial. Os cursos introdutórios de econometria costumam omitir esta abordagem e expressam todas as derivações usando somatórios, deixando a abordagem matricial para cursos mais avançados. É bastante simples computar uma regressão usando apenas matrizes no R. De fato, um dos objetos fundamentais do R é a matrix e muitas das operações matriciais (decomposições, inversa, transposta, etc.

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Resultados assintóticos Lei dos Grande Números A Lei dos Grandes Números (LGN) é um resultado assintótico bastante utilizado em econometria. Numa definição informal, a LGN nos diz que uma média amostral converge para para a média verdadeira dos dados. Isto é, se temos uma sequência de variáveis aleatórias \(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}\) independentes e identicamente distribuídas: \[\begin{equation} \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} x_{1} \to \mathbb{E}(x) \end{equation}\] Vamos criar uma amostra de cinco observações a partir de uma distribuição uniforme e tirar a média destas observações.

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Vinicius Oike Reginatto

Mestre em Economia (FEA/USP)

São Paulo, Brasil