Introdução Os cursos de econometria de séries de tempo, usualmente, começam pelo ensino de modelos lineares univariados para séries estacionárias. Estes modelos são da família ARMA e tentam representar uma série de tempo \(y_{t}\) em função de suas defasagens \(y_{t-1}, y_{t-2}, \dots, y_{t-n}\) e de choques aleatórios (inovações) \(\epsilon_{t}, \epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-2}, \dots, y_{t-n}\). Contudo, pode ser mais interessante relacionar duas séries de tempo \(y_{t}\) e \(x_{t}\) diferentes via um modelo linear.

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Processos Estacionários MA(1) O modelo MA(1) é descrito pela equação \[ y_{t} = \epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1} \] onde \(\epsilon_{t} \sim \text{RB}(0, \sigma^{2})\). Isto é, estamos modelando a série como uma soma de “choques aleatórios” com pesos diferentes. Note que este processo sempre vai ser estacionário. Como a esperança de \(\epsilon_{t}\) é zero (para qualquer valor de \(t\)) a esperança de y_{t} será sempre zero. Especificamente: \[\begin{align} \mathbb{E}(y_{t}) & = \mathbb{E}(\epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1}) \\ & = \mathbb{E}(\epsilon_{t}) + \mathbb{E}(\theta\epsilon_{t-1}) \\ & = 0 + \theta\mathbb{E}(\epsilon_{t-1}) \\ & = 0 + 0 = 0 \end{align}\] Além disso, podemos ver que a autocovariância do processo, \(\gamma(k)\), depende apenas das distâncias (dos “lags”), isto é, da distância \(k\).

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Temperatura de Porto Alegre ggplot() + geom_errorbar(data = d, aes(dia, ymin = tmin, ymax = tmax), colour = "salmon", alpha = .35, size = 1) + geom_point(data = dias_quentes, aes(data, temp_max), fill = "firebrick2", colour = "gray20", shape = 21, size = 3) + geom_point(data = dias_frios, aes(data, temp_min), fill = "dodgerblue3", colour = "gray20", shape = 21, size = 3) + geom_line(data = d, aes(dia, tmedia, group = 1), colour = "black", size = 1) + labs(x = "", y = "", title = "Temperatura em Porto Alegre (07/2017-07/2018)", caption = "Fonte: CPTEC", subtitle = "Temperatura registrada a cada hora do dia.

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Os modelos ARMA buscam descrever o comportamento de uma série \(y_{t}\) como função linear de seus valores passados \(y_{t-1}, y_{t-2}, \dots\) e de “choques aleatórios” \(\epsilon_{t}\). A forma geral de um modelo ARMA(p,q) é dado pela equação: \[\begin{equation} y_{t} = \mu + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \dots + \phi_{p}y_{t-p} + \epsilon_{t} + \theta_{1}\epsilon_{t-1} + \theta_{2}\epsilon_{t-2} + \dots + \theta_{q}\epsilon_{t-q} \end{equation}\] onde \(\mu > 0\) e \(\epsilon_{t}\) é ruído branco com variância \(\sigma^{2}\) (usamos a notação \(\epsilon_{t} \sim \text{RB}(0, \sigma^{2})\)).

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Crescimento do PNB Vamos usar a série do PNB disponbilizada pelo pacote astsa. Este pacote foi montado pelos autores do livro Time Series Analysis. Para visualizar a série usamos a função plot.ts. library(astsa) library(forecast) plot.ts(gnp, main = "Produto Nacional Bruto EUA (trimestre)", xlab = "", ylab = "US$ (bilhões)") Precisamos transformar a série primeiro. Para encontrar a variação percentual de uma variável \(y_{t}\) qualquer fazemos \[ \Delta y_{t} = \frac{y_{t} - y_{t-1}}{y_{t-1}} \] Uma aproximação comumumente usada no lugar da equação acima é a diferença em log.

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O modelo O SARIMA adiciona sazonalidade estocástica multiplicativa ao modelo ARIMA. Lembre-se que o modelo ARMA(p,q) geral é da forma: \[\begin{equation} y_{t} = \mu + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \dots + \phi_{p}y_{t-p} + \epsilon_{t} + \theta_{1}\epsilon_{t-1} + \theta_{2}\epsilon_{t-2} + \dots + \theta_{q}\epsilon_{t-q} \end{equation}\] Podemos reescrever a expressão acima usando o operador defasagem e os polinômios \[\begin{align} \phi(L) & = 1-\phi_{1}L - \phi_{2}L^{2} - \dots - \phi_{p}L^{p} \\ \theta(L) & = 1+\theta_{1}L + \theta_{2}L^{2} + \dots + \theta_{q}L^{q} \end{align}\] Assim a expressão pode ser resumida como \[\begin{equation} \phi(L)y_{t} = \mu + \theta(L)\epsilon_{t} \end{equation}\] O modelo ARIMA tira diferenças \(d\) de \(y_{t}\): \[\begin{equation} \phi(L)(1-L)^{d}y_{t} = \theta(L)\epsilon_{t} \end{equation}\] A princípio não há restrição sobre o valor de \(d\) mas na prática sabemos que \(d = 1\) ou \(d = 2\).

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Vinicius Oike Reginatto

Mestre em Economia (FEA/USP)

São Paulo, Brasil