Processos Estacionários MA(1) O modelo MA(1) é descrito pela equação \[ y_{t} = \epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1} \] onde \(\epsilon_{t} \sim \text{RB}(0, \sigma^{2})\). Isto é, estamos modelando a série como uma soma de “choques aleatórios” com pesos diferentes. Note que este processo sempre vai ser estacionário. Como a esperança de \(\epsilon_{t}\) é zero (para qualquer valor de \(t\)) a esperança de y_{t} será sempre zero. Especificamente: \[\begin{align} \mathbb{E}(y_{t}) & = \mathbb{E}(\epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1}) \\ & = \mathbb{E}(\epsilon_{t}) + \mathbb{E}(\theta\epsilon_{t-1}) \\ & = 0 + \theta\mathbb{E}(\epsilon_{t-1}) \\ & = 0 + 0 = 0 \end{align}\] Além disso, podemos ver que a autocovariância do processo, \(\gamma(k)\), depende apenas das distâncias (dos “lags”), isto é, da distância \(k\).

Continue reading

Uma forma instrutiva de entender o modelo de regressão linear é expressando ele em forma matricial. Os cursos introdutórios de econometria costumam omitir esta abordagem e expressam todas as derivações usando somatórios, deixando a abordagem matricial para cursos mais avançados. É bastante simples computar uma regressão usando apenas matrizes no R. De fato, um dos objetos fundamentais do R é a matrix e muitas das operações matriciais (decomposições, inversa, transposta, etc.

Continue reading

Instalação e Uso O R está disponível gratuitamente na internet. Para facilitar seu uso é fortemente recomendado que se instale também o RStudio. O RStudio é uma interface gráfica para o R que traz diversas funcionalidades úteis. Ele também é integrado com o Markdown e o Notebook que permitem compartilhar códigos de R. Este html, por exemplo, foi renderizado a partir de um arquivo de Markdown escrito no RStudio. Também é possível escrever código diretamente em editores de texto (ex: Notepad++, Sublime Text), mas isto não é recomendado para usários iniciantes.

Continue reading

Histograma Um histograma agrupa os dados em classes (bins) e conta a frequência das observações dentro de cada classe. O uso mais comum do histograma é para visualizar a forma da distribuição dos dados. Vamos ver alguns exemplos de como construir histogramas usando o ggplot2. ggplot2 A estrutura de um gráfico do ggplot2 parte de três elementos básicos: (1) a base de dados, isto é, um objeto data.frame; (2) um mapeamento de variáveis, feito com auxílio da função aes(); (3) a escolha da forma do gráfico, feito com as funções geom.

Continue reading

Crescimento do PNB Vamos usar a série do PNB disponbilizada pelo pacote astsa. Este pacote foi montado pelos autores do livro Time Series Analysis. Para visualizar a série usamos a função plot.ts. library(astsa) library(forecast) plot.ts(gnp, main = "Produto Nacional Bruto EUA (trimestre)", xlab = "", ylab = "US$ (bilhões)") Precisamos transformar a série primeiro. Para encontrar a variação percentual de uma variável \(y_{t}\) qualquer fazemos \[ \Delta y_{t} = \frac{y_{t} - y_{t-1}}{y_{t-1}} \] Uma aproximação comumumente usada no lugar da equação acima é a diferença em log.

Continue reading

Author's picture

Vinicius Oike Reginatto

Mestre em Economia (FEA/USP)

São Paulo, Brasil