Séries M4 Neste post vou implementar algumas rotinas simples que modelam e preveem séries de tempo univariadas. Para avaliar modelos em série de tempo é bastante comum separar a série em duas partes: uma primeira é usada para alimentar o modelo: serve para estimar os parâmetros; a segunda parte serve para testar a sua capacidade preditiva. A terminologia usual é de train (treino) e test (teste). Usamos o train para estimar o modelo e depois testamos as suas previsões contra as observações reservadas no test.

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Processos Estacionários MA(1) O modelo MA(1) é descrito pela equação \[ y_{t} = \epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1} \] onde \(\epsilon_{t} \sim \text{RB}(0, \sigma^{2})\). Isto é, estamos modelando a série como uma soma de “choques aleatórios” com pesos diferentes. Note que este processo sempre vai ser estacionário. Como a esperança de \(\epsilon_{t}\) é zero (para qualquer valor de \(t\)) a esperança de y_{t} será sempre zero. Especificamente: \[\begin{align} \mathbb{E}(y_{t}) & = \mathbb{E}(\epsilon_{t} + \theta\epsilon_{t-1}) \\ & = \mathbb{E}(\epsilon_{t}) + \mathbb{E}(\theta\epsilon_{t-1}) \\ & = 0 + \theta\mathbb{E}(\epsilon_{t-1}) \\ & = 0 + 0 = 0 \end{align}\] Além disso, podemos ver que a autocovariância do processo, \(\gamma(k)\), depende apenas das distâncias (dos “lags”), isto é, da distância \(k\).

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Temperatura de Porto Alegre ggplot() + geom_errorbar(data = d, aes(dia, ymin = tmin, ymax = tmax), colour = "salmon", alpha = .35, size = 1) + geom_point(data = dias_quentes, aes(data, temp_max), fill = "firebrick2", colour = "gray20", shape = 21, size = 3) + geom_point(data = dias_frios, aes(data, temp_min), fill = "dodgerblue3", colour = "gray20", shape = 21, size = 3) + geom_line(data = d, aes(dia, tmedia, group = 1), colour = "black", size = 1) + labs(x = "", y = "", title = "Temperatura em Porto Alegre (07/2017-07/2018)", caption = "Fonte: CPTEC", subtitle = "Temperatura registrada a cada hora do dia.

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Equações a diferenças estocásticas Equações a diferenças estocásticas surgem naturalmente em modelos lineares de séries de tempo. Um modelo linear bastante simples para descrever uma série de tempo é o chamado random walk. Ele pode ser expresso como: \[\begin{equation} y_{t} = y_{t-1} + \epsilon_{t} \end{equation}\] onde \(\epsilon_{t}\) é um ruído branco, isto é, \(\epsilon_{t}\) é um processo com média zero e sem autocorrelação. O modelo random-walk diz simplesmente que o valor de \(y(t)\) é igual a seu valor no período imediatamente anterior, \(y_{t-1}\), somado a um “choque aletório”.

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Vinicius Oike Reginatto

Mestre em Economia (FEA/USP)

São Paulo, Brasil